攻克零点猜想，张益唐会成为全球最牛的数学家吗？

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攻克零点猜想，张益唐会成为全球最牛的数学家吗？

文章来源: 风声
于 2022-11-06 02:08:38


作者丨吴朝阳 南京大学数学系副教授

“张益唐攻克兰道-西格尔零点猜想，距离解决黎曼猜想更近一步”的消息持续发酵。尽管公众大都不明所以，但这一原本极为小众的话题依然引起无数国人的关注。

“兰道-西格尔零点猜想”究竟是什么？它又有什么重要性？要准确理解这两个问题的答案，我们需要跨过足够高的专业门槛。对普通公众而言，了解这一领域的大致脉络，也许是更为现实的选择。

张益唐是如何一举成名的？

公元前五世纪，毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，这个观点得到几乎所有古希腊学者的认同。于是，古希腊人认为，对“数”的探索是了解和理解大千世界的关键，对“数”的研究成为古希腊学者最热衷的事情之一。

最基础、最“自然”的“数”是正整数。数的四则运算中，加减法相对简单，古希腊的学者们更关心的是关于正整数乘法的性质。正如30=2x3x5，正整数大都可以写成若干个小于自己而大于1的正整数的乘积。如果以乘法为构建手段，则大于1但不能写成这样的乘积的正整数就是正整数关于乘积的基本构件，它们被称为“素数”，中文也称为“质数”（与之相对的、可被乘法分解的正整数被称为“合数”）。


既然是正整数的基本构件，数学家们对素数自然就抱有极大的兴趣。大约在公元前四世纪，《几何原本》的作者欧几里得，就用精彩的反证法证明：存在无穷多个素数。此外，古希腊人还发现，随着考察范围的增大，素数变得越来越稀少；与此同时，古希腊人也发现，尽管素数在大的正整数中相当稀有，但似乎总是存在相差很小的素数对，他们因此猜测：存在无穷多个差为2的素数对。

这就是著名的“孪生素数猜想”。张益唐当年一举成名，就是在证明这个猜想的道路上迈出了重要一步：2013年4月17日，张益唐在《数学年刊》发表《质数间的有界间隔》，在孪生素数猜想这个此前没有数学家能实质推动的著名问题道路上迈出了革命性的一大步。



|《质数间的有界距离》摘要

研究数的性质的数学分支称为“数论”。大家熟悉的费马大定律、哥德巴赫猜想都属于这个分支领域。

数论专家们很早就发现一重要现象：素数的分布相当不均匀。那么，这无穷多个素数是如何分布的呢？在漫长的中世纪结束之后，寻找素数分布的规律，成为数论专家们极为重视的一个问题。

黎曼猜想的新闻为何能带来轰动？

18世纪中叶，瑞士数学家欧拉以一个在数学家看来极为简洁的乘积公式，把素数与复指数的无穷级数联系到了一起。19世纪50年代，德国数学家黎曼在欧拉及其后几代数学家工作的基础上，构造出大名鼎鼎的“黎曼ζ函数”。黎曼证明，黎曼ζ函数零点的分布与素数的分布规律关系紧密，一旦弄清楚黎曼ζ函数零点的分布，精确的素数分布规律便将大白于天下。

基于此，黎曼在1859年给出了一个猜测：黎曼ζ函数的所有非平凡零点都位于复平面的直线上。这就是名动天下的黎曼猜想。

这个猜想，是一个极难攻克的问题——黎曼在给出这个猜想的时候，就明确表示自己证明不了。后来，有人问大数学家希尔伯特（他曾经在数学上比爱因斯坦更早发现广义相对论）：如果你离开地球五百年之后再返回地球，你的第一个问题将会是什么？希尔伯特回答说，我会问：黎曼猜想解决了没有？

事实证明，希尔伯特的判断是正确的。诞生160多年之后，黎曼猜想仍然悬而未决。

与黎曼几乎同时，另一位德国数学家狄利克雷引入“狄利克雷L函数”，这个函数是黎曼ζ函数的推广。于是，数论中出现了“广义黎曼猜想”。

广义黎曼猜想比黎曼猜想“威力”更大，它的成立与否，决定着孪生素数猜想等重大数论命题的命运。事实上，目前已经有2000多个数学命题依赖于广义黎曼猜想的解决，可见它在数论中有着无可比拟的重要性。

20世纪初，几位数学家发现，狄利克雷L函数可能存在所谓的“异常零点”，因而引出了“兰道-西格尔零点猜想”。这个猜想说，狄利克雷L函数不存在异常零点。这种异常零点的存在与否，和广义黎曼猜想的正误紧密相关：如果狄利克雷L函数存在异常零点，则广义黎曼猜想不成立。

然而，多年的研究显示，兰道-西格尔零点猜想是一个非常难于解决的问题，有些数学家甚至认为，它比广义黎曼猜想更难被攻克！

如果张益唐真的攻克了“猜想”……

至此，我们知道：素数是自然数的基本构件，素数的分布问题是关于自然数的学问（数论）中极为重要的问题，包括孪生素数猜想在内的许多素数分布问题的解决，都依赖于广义黎曼猜想，而兰道-西格尔零点猜想与广义黎曼猜想紧密相关。因此，毫无疑问地，兰道-西格尔零点猜想是数学中一个关系重大的猜想，它的攻克理所当然是数论界的重大事件。

如果张益唐证明兰道-西格尔零点猜想不成立，那么他就投出了一颗威力无比的重磅炸弹：广义黎曼猜想不成立，而2000多个相关命题也将随之寿终正寢。如果张益唐证明兰道-西格尔零点猜想成立，那么广义黎曼猜想依旧岿然不动，但其证明仍然非常重要。因为，它必然为数论研究提供了全新的数学工具，同时证明了人类智慧的高超，并为广义黎曼猜想的成立提供了旁证。

| 2019年，张益唐教授在未来科学大奖科学峰会上，分享了Landau-Siegel零点问题

作为外行的公众，不妨如此理解这一问题：广义黎曼猜想如同是一根支柱，诸多数学家傍依着这根支柱添砌砖头建了一面墙；现在，张益唐可能在这根支柱上钻了一个孔，可以初步窥视这根支柱的成色——如果钻孔处显示它只是一根烂木头（兰道-西格尔零点猜想不成立），那么这堵墙将轰然倒塌，所有砖头将抛洒一地；如果钻孔处显示是钢筋（兰道-西格尔零点猜想成立），那么这根支柱的整体质量将等待进一步的检验来证实。

顺便说一下，列名于上述猜想的兰道（Edmund Landau，1877 - 1938）和西格尔（Carl Ludwig Siegel，1896 - 1981）都是德国一流的数学家。在纳粹上台之后，兰道很快就被迫退休，西格尔则因为反感纳粹政权而在数年后远走美国。毫不夸张地说，纳粹政权在数年间就使数学界首屈一指的哥廷根学派分崩离析，使德国数学永远失去旧日的辉煌。

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张益唐111页零点猜想论文出炉！自称比孪生素数猜想意义更大

观察者网用户社区 量子位 QbitAI
7小时前


张益唐攻克朗道-西格尔零点猜想的论文，来了！

111页论文，满满当当全是表达式。

论文释出之前，张益唐证明这一黎曼猜想相关问题的消息，早已震动数学界。

就有专家教授表示：

张益唐要是能把Landau-Siegel做出来，就相当于一个人被闪电击中两次。

而张益唐自己也说，攻克朗道-西格尔零点就像是大海捞针。

整个过程我把海底的情况都摸清楚了，后来发现不用这根针，我也能把它做出来。

关于这项成果的意义，张益唐则认为：

比孪生素数猜想的意义更大，朗道-西格尔零点猜想有点像黎曼猜想那样，它一解决，一百个猜想都变成定理了。

完整论文，我们文末奉上。

朗道-西格尔零点猜想

所谓朗道-西格尔零点猜想，简单来说就是黎曼猜想的某种弱形式。

核心要回答的一个问题就是：是否存在一个叫做朗道-西格尔零点的东西。

首先我们设实数σ，t和复数s=σ+it。

根据知乎博主“TravorLZH”的介绍，十九世纪的数学家为了研究素数分布引入了黎曼猜想。

而为了研究等差数列上的素数分布，数学家Dirichlet引入了L函数。

再后来，数学家也发展出了对应的解析工具来说明L函数在σ=1时无零点，从而证明了等差数列上的素数定理：

但对于上面的公式，数学家们依旧是不满意，他们还要继续缩减L函数的非平凡零点的存在区域。

于是前人证明了L函数的非平凡零点基本上都能落在类似于下面公式中的沙漏型的区域：

如果L函数所有的非平凡零点都落在这个区域内，就可以得到带余项的等差数列素数定理。

可惜的是，数学家Edmund Landau发现当X满足特殊性质时其对应的L函数可能会出现落在上面公式之外的异常零点（exceptional zero）。

但幸运的是，Landau证明了对于每个这样的L函数，若下面区域中存在异常零点，则这样的零点只可能出现一个，而且阶数也恰好只能是一。

后来Walfisz利用这个更弱的非零区域得到了一个妥协版的等差数列素数定理：

很明显，这个公式的限制条件要多了许多，所以大家当然希望L函数能够没有异常零点。

由于Landau和Siegel两位数学家在L函数异常零点这个领域里做了开创性的工作，所以异常零点也常常被称为Landau-Siegel零点。

而断言L函数没有异常零点的猜测就被称为Landau-Siegel猜想。

整体来看，其实广义黎曼猜想恰好是Landau-Siegel猜想的充分条件。

但这一个世纪以来的研究表明Landau-Siegel问题可以比黎曼猜想还要难解决。

实际上，关于朗道-西格尔猜想，早在07年张益唐就曾在arXiv上发布一篇论文，但是里面的论证有些Bug。

有意思的是，在与北大校友交流时，张益唐透露，一开始，他并没有很系统地去研究这个猜想。

但当今年的新晋菲尔兹奖得主詹姆斯·梅纳德（James Maynard），2020年在他的基础之上，把“孪生素数猜想”的结果又改进了一大步，张益唐心想：

我一定要做出一个更好的东西。

每天12小时思考数学问题

上面这则趣闻，出自北京大学大纽约地区校友会主办的张益唐线上交流座谈。

在其中，还有更多关于这位世界级数学家真实的一面。

在此，我们附上QA环节的部分文字整理：

主持人：研究和生活中觉得最困难的时候是如何坚持下来的呢？

张益唐：如果是指2013年之前（张益唐在2013年证明孪生素数猜想），那可能是我这人天性比较淡泊，我对生活要求很低，所以我也没有太多的困难。

尽管看着别人挣钱多，也不能说没有一点不平衡，但总的讲我还是能坦然处之的。

就是我只要有钱能够花，尽管弄得我太太不高兴（全场大笑），但我还是不觉得太困难，我还是能够坚持下来。

主持人：您如何维持对一件事情的专注？

张益唐：这是一种习惯，某种程度我都觉得是不是我得了一种强迫症。就说你想停都停不下来了。

比如朗道-西格尔零点问题。就是我刚才说大海捞针，最后我也觉得这个针大概是没有了，捞不到了，可还是停不下来。

某种程度上，如果说你一旦真的是完全被吸引住的话，不用刻意怎么样去维持，自然应该就是能够维持的。

主持人：平均每天花多长时间思考数学问题？

张益唐：坦率讲我一天至少思考12个小时以上。

因为我可以不写，不看书，我可以在走路，或者干别的什么事。但我可以一直想这个问题，所以实际上应该是非常长的。长到连我太太都要骂我。

我顺便提一下，就是当我的结果快完成的时候，我几乎是每天晚上做梦都在想这个。而且非常有意思，总觉得这一步还不对，还有问题，弄得挺烦恼，几乎每天都是这样。

主持人：您如何看待学术上的竞争与合作，比如读书时与同门之间的竞争、毕业后与同行之间的竞争。您是如何调整心态？

张益唐：我觉得竞争是正常的。不要说在学术上，就说人有没有心理不平衡的时候，这多少都会有的。

比如我最近遇到的一次，就是那个英国年轻数学家梅纳德（詹姆斯·梅纳德），他在孪生素数这个问题下，一下把我给超过去了，而且超过了不少。

你说当时我的心理是什么样的？我也不管了，反正我已经出名了。（全场大笑）

没有。其实朗道-西格尔零点问题，我以前就开始在想了，但没有那么系统地想。但就是这样，我就下决心我一定还要做出一个更好的东西。

而在今天我敢说这句话，我已经把它做成了。

主持人：关于数学等基础科学的应用化，张师兄怎么看？

张益唐：数学里头很多东西都已经被应用，而且正在发现越来越多的应用，特别在物理在工程上什么的。

即使有一些现在还没有找到应用的，比如像纯粹的解析数论要解决的这些问题，我相信早晚也会发现它是能应用的。但具体这个时间我还不能预测。

另外我们不能说因为这个东西现在暂时没有应用，或者找不到应用，就轻视它。

基础数学、基础科学的这个研究，它不仅将来会具有潜在的应用，它也是衡量一个民族，一个国家，你的文化程度，你的发达程度，这一点是不能忽略的。