除了 π、e 等这些常数，还有哪些伟大的常数？

源济 · 发表于 2021-9-23 07:05 PM

除了 π、e 等这些常数，还有哪些伟大的常数？他们的意义都是什么？为什么都是无理数呢？

作者 / 东城居士

就数学常数而言，除了

$\pi$

和

$e$

最伟大的常数应该要数 Euler-Mascheroni 常数

$\gamma=\lim_{n \rightarrow \infty}{\left( H_n-\ln n \right)}=0.57721566490153286\cdot\cdot\cdot,$

其中

$H_n=\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k}}$

称为 调和数. 由定义可以看出 Euler-Mascheroni 常数

$\gamma$

刻画了当

$n$

足够大时调和数

$H_n$

与对数

$\ln n$

的差.

之所以说 Euler-Mascheroni 常数

$\gamma$

是除了

$\pi$

和

$e$

之外最伟的常数，那是因为它与

$\pi$

和

$e$

一样会频繁地出现在数学的各个方面. 比如

$\mathit{1}.$

设

$\tau(n)$

为正整数

$n$

的正因子的个数. 在 1838 年，著名数学家 Dirichlet 得到了

$~\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}{\tau(k)}=\ln n+2\gamma-1+\mathcal O \left( \frac{1}{\sqrt{n}} \right).$

$\mathit{2}.$

设

$p_n$

为第

$n$

个素数，数学家 Mertens 得到了著名的 Mertens 定理：

$~~~~~~~~~~~\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{1}{\ln p_n}\prod_{k=1}^{n}\frac{1}{1-\frac{1}{p_k}}}=e^\gamma.$

$\mathit{3}.$

我们记

$\pi_M(x)$

为不超过

$x$

的 Mersenne 素数 的个数. 1983 年，数学家 Wagstaff 模仿著名的 素数定理 提出下述猜想：

猜想：

$\pi_M(x)\sim\frac{e^{\gamma}}{\ln 2}\ln\ln x.$

$\mathit{4}.$

Euler 的 Gamma 函数 定义如下

$~~~\Gamma(z)=\int_0^\infty x^{z-1}e^{-x}\mathrm{d}x ~(Re(z)>0),$

则其有 Weierstrass 型 无穷乘积形式

$~~~~~~\Gamma(z)={e^{-\gamma z}\over z}\prod_{k=1}^\infty\left(1+{z\over k}\right)^{-1}\cdot e^{z\over k}.$

我们定义 Digamma 函数 为

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\psi(z)={\Gamma'(z)\over\Gamma(z)},$

则我们有

$\psi(n)=-\gamma+\sum_{k=1}^{n-1}{\frac{1}{k}},$

$\psi\left( n+\frac{1}{2} \right)=-\gamma-2\ln 2+2\sum_{k=0}^{n-1}{\frac{1}{2k+1}},$

$\psi\left( \frac{p}{q} \right)=-\gamma-\frac{\pi}{2}\cot\frac{p\pi}{q}-\ln q+\sum_{k=1}^{q-1}{\cos\frac{2kp\pi}{q}\ln\left( 2\sin\frac{k\pi}{q} \right)}.$

运用这些公式，我们可以得到

$\psi\left( \frac{1}{2} \right)=-\gamma-2\ln 2,$

$\psi\left( \frac{1}{3} \right)=-\gamma-\frac{\sqrt{3}}{6}\pi-\frac{3}{2}\ln 3,$

$\psi\left( \frac{2}{3} \right)=-\gamma+\frac{\sqrt{3}}{6}\pi-\frac{3}{2}\ln 3,$

$\psi\left( \frac{1}{4} \right)=-\gamma-\frac{\pi}{2}-3\ln 2,$

$\psi\left( \frac{3}{4} \right)=-\gamma+\frac{\pi}{2}-3\ln 2,$

$\psi\left( \frac{1}{5} \right)=-\gamma-\frac{\pi}{2}\sqrt{1+\frac{2\sqrt{5}}{5}}-\frac{5}{4}\ln 5-\frac{\sqrt{5}}{2}\ln\frac{1+\sqrt{5}}{2},$

$\psi\left( \frac{2}{5} \right)=-\gamma-\frac{\pi}{2}\sqrt{1-\frac{2\sqrt{5}}{5}}-\frac{5}{4}\ln 5+\frac{\sqrt{5}}{2}\ln\frac{1+\sqrt{5}}{2},$

$\psi\left( \frac{3}{5} \right)=-\gamma+\frac{\pi}{2}\sqrt{1-\frac{2\sqrt{5}}{5}}-\frac{5}{4}\ln 5+\frac{\sqrt{5}}{2}\ln\frac{1+\sqrt{5}}{2},$

$\psi\left( \frac{4}{5} \right)=-\gamma+\frac{\pi}{2}\sqrt{1+\frac{2\sqrt{5}}{5}}-\frac{5}{4}\ln 5-\frac{\sqrt{5}}{2}\ln\frac{1+\sqrt{5}}{2},$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot$

$\mathit{5}.$

下面这些级数与

$\gamma$

有关.

$\sum_{k=2}^{\infty}{\frac{\zeta(k)-1}{k}}=1-\gamma,$

$\sum_{k=2}^{\infty}{\frac{\zeta(k)}{k\cdot2^k}}=\frac{\ln \pi}{2}-\frac{\gamma}{2},$

$\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{\zeta(2k+1)}{(2k+1)\cdot2^{2k}}}=\ln2-\gamma,$

$\sum_{k=2}^{\infty}{(-1)^k\frac{\zeta(k)-1}{k}}=\gamma-1+\ln2,$

$\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{\zeta(2k+1)-1}{2k+1}}=1-\gamma+\frac{\ln2}{2},$

$\sum_{k=2}^{\infty}{(-1)^k\frac{\zeta(k)}{k\cdot2^k}}=\frac{\gamma}{2}+\frac{\ln \pi}{2}-\ln 2,$

$\sum_{k=2}^{\infty}{\frac{\zeta(k)-1}{k}\left( \frac{3}{2} \right)^{k}}=\frac{3}{2}-\frac{3\gamma}{2}+\frac{\ln\pi}{2},$

$\sum_{k=2}^{\infty}{(-1)^k\frac{\left( \zeta(k)-1 \right)\cdot2^k}{k}}=2\gamma-2+\ln6,$

$\sum_{k=2}^{\infty}{(-1)^k\frac{\zeta(k)-1}{k\cdot2^k}}=\frac{\gamma}{2}-\frac{1}{2}+\ln\left( \frac{3\sqrt{\pi}}{4} \right),$

$\sum_{k=2}^{\infty}{(-1)^k\frac{\zeta(k)-1}{k}\left( \frac{3}{2} \right)^{k}}=\frac{3\gamma}{2}-\frac{3}{2}+\ln\left( \frac{15\sqrt{\pi}}{8} \right),$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot$

其中

$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^s}}$

为 Riemann Zeta 函数.

$\mathit{6}.$

设

$\rho$

为

$\zeta(s)$

的 非平凡零点，则

$~~~~~~~~~\sum_{\rho}{\frac{1}{\rho}}=1+\frac{\gamma}{2}-\frac{\ln\pi}{2}-\ln2.$

$\mathit{7}.$

设

$B_{n}$

为 Bernoulli 数，

$B_{n}(x)$

为 Bernoulli 多项式. 则我们有

$~~~~\sum_{k=3}^{\infty}{\zeta(k-1)\frac{B_k(m)-B_k}{k(k-1)m^{k-1}}}=\frac{1}{2}\left[ (m-1) (\ln2\pi-\gamma)-\ln m\right].$

$\begin{align}&~~~~\sum_{k=4}^{\infty}{\zeta(k-2)\frac{B_k(m)-B_k}{k(k-1)(k-2)m^{k-1}}}\\&=\frac{1-\gamma}{6}\left( m-\frac{3}{2}+\frac{1}{2m} \right)+\frac{\ln m}{12m}+\frac{m-1}{4}(\ln2\pi-1)+\zeta'(-1)\left( m-\frac{1}{m} \right). \\& \end{align}$

$\mathit{8}.$

我们定义 对数积分 为

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~Li(x)=\int_{0}^{x}\frac{1}{\ln t}dt,$

则我们有

$Li(x)=\int_{1}^{x}{\left( 1-\frac{1}{ t} \right)\frac{1}{\ln t}}dt+\ln\ln x+\gamma$

$~~~~~~~~~=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\ln^nx}{n\cdot n!}}+\ln\ln x+\gamma.$

$\mathit{9}.$

下面这些积分与

$\gamma$

有关.

$\int_{-\infty}^{\infty}xe^{x-\mu e^{x}}=-\frac{\ln\mu+\gamma}{\mu},$

$\int_{0}^{\infty}\left( e^{-x^4}-e^{-x}\right)\frac{dx}{x}=\frac{3}{4}\gamma,$

$\int_{0}^{\infty}\left( e^{-x^4}-e^{-x^2}\right)\frac{dx}{x}=\frac{\gamma}{4},$

$\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-x}-e^{-\mu x}}{1-e^{-x}}dx=\psi(\mu)+\gamma,$

$\int_{0}^{\infty}\left( e^{-x^2}-\frac{1}{1+x^2}\right)\frac{dx}{x}=-\frac{\gamma}{2},$

$\int_{0}^{1}\left( \frac{1}{\ln^2x}-\frac{x}{(x-1)^2}\right)dx=\gamma-\frac{1}{2},$

$\int_{0}^{1}\frac{x^{\nu-1}-x^{\mu-1}}{1-x^\nu}dx=\frac{1}{\nu}\left[ \psi\left( \frac{\mu}{\nu} \right)+\gamma\right],$

$\int_{0}^{\infty}\left( \frac{e^{-x}-1}{x}+\frac{1}{x+1}\right)\frac{dx}{x}=\gamma-1,$

$\int_{0}^{\infty}\left( e^{-px}-\frac{1}{1+(ax)^2}\right)\frac{dx}{x}=\ln\frac{a}{p}-\gamma,$

$\int_{0}^{\infty}\left( \frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^\mu}\right)\frac{dx}{x}=\psi(\mu)+\gamma,$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot$

$\mathit{10}.$

下面这些极限与

$\gamma$

有关.

$\lim_{n \rightarrow \infty}\prod_{k=1}^{n}e^{\frac{1}{2k}-1}\cdot\left( 1+\frac{1}{k} \right)^k=\frac{e^{1+\frac{\gamma}{2}}}{\sqrt{2\pi}},$

$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\prod_{k=1}^{n}e^{\frac{1}{k}-1}\cdot\left( 1+\frac{1}{k} \right)^k=\frac{e^{1+\gamma}}{\sqrt{2\pi}},$

$\lim_{n \rightarrow \infty}\prod_{k=1}^{n}e^{\frac{2}{k}-2}\cdot\left( 1+\frac{2}{k} \right)^k=\frac{e^{3+2\gamma}}{2\pi}.$

$\pi,e,\gamma$

是数学中最重要的三个常数，因此经常被数学家喻为数学常数中的 holy trinity. 它们有着形式非常相似的无穷乘积：

$\frac{\pi}{2}=\left( \frac{2}{1} \right)^{\frac{1}{2}}\cdot\left( \frac{2^2}{1\cdot3} \right)^{\frac{1}{4}}\cdot\left( \frac{2^3\cdot4}{1\cdot3^3} \right)^{\frac{1}{8}}\cdot\left( \frac{2^4\cdot4^4}{1\cdot3^6\cdot5} \right)^{\frac{1}{16}}\cdot\cdot\cdot,$

$e=\left( \frac{2}{1} \right)^{\frac{1}{1}}\cdot\left( \frac{2^2}{1\cdot3} \right)^{\frac{1}{2}}\cdot\left( \frac{2^3\cdot4}{1\cdot3^3} \right)^{\frac{1}{3}}\cdot\left( \frac{2^4\cdot4^4}{1\cdot3^6\cdot5} \right)^{\frac{1}{4}}\cdot\cdot\cdot,$

$e^\gamma=\left( \frac{2}{1} \right)^{\frac{1}{2}}\cdot\left( \frac{2^2}{1\cdot3} \right)^{\frac{1}{3}}\cdot\left( \frac{2^3\cdot4}{1\cdot3^3} \right)^{\frac{1}{4}}\cdot\left( \frac{2^4\cdot4^4}{1\cdot3^6\cdot5} \right)^{\frac{1}{5}}\cdot\cdot\cdot.$

1997 年，数学家 Wilf 得到了一个十分优美的同时包含

$\pi,e,\gamma$

三个常数的公式：

$~\prod_{n=1}^{\infty}\left( 1+\frac{1}{n}+\frac{1}{2n^2} \right)\cdot e^{-\frac{1}{n}}=\frac{e^{\frac{\pi}{2}}+e^{-\frac{\pi}{2}}}{\pi\cdot e^\gamma}.$

由于

$\gamma$

的极端重要性，数学家对其进行了很多的研究，得到了各种各样的表达式：

$\gamma=\lim_{x \rightarrow \infty}{\left[ x-\Gamma\left( \frac{1}{x} \right) \right]},$

$\gamma=\lim_{s \rightarrow 1}\left[ \zeta(s)-\frac{1}{s-1} \right],$

$\gamma=\lim_{s \rightarrow 1^+}\sum_{n=1}^{\infty}{\left( \frac{1}{n^s}-\frac{1}{s^n} \right)},$

$\gamma=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n}{\sum_{k=1}^{n-1}}\left( \left \lceil \frac{n}{k} \right \rceil -\frac{n}{k}\right),$

$\gamma=\lim_{n \rightarrow \infty}{\left[\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{\left( \frac{n^k}{k!} \right)^2\cdot H_k}{\sum_{k=0}^{\infty}\left( \frac{n^k}{k!} \right)^2}} -\ln n \right]},$

$\gamma=\lim_{s \rightarrow \infty}{\left[ \zeta\left(\zeta(s) \right)-2^s+\left( \frac{4}{3} \right)^s+1 \right]},$

$\gamma=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n}{\sum_{k=0}^{n-1}}(-1)^{k+1}C_{n-1}^{k}\ln(k+1),$

$\gamma=\lim_{x \rightarrow \infty}{\left[ \sum_{p\leq x}{\ln\left( \frac{1}{1-\frac{1}{p}} \right)}-\ln\ln x\right]},$

$\gamma=\lim_{n \rightarrow \infty}\left[ \frac{2n-1}{2n} -\ln n+\sum_{k=2}^{n}{\frac{1}{k}}\left( 1+\frac{B_k}{n^k} \right)\right],$

$\gamma=-\lim_{n \rightarrow \infty}{\left[{\frac{\Gamma\left( \frac{1}{n} \right)\cdot\Gamma\left( n+1 \right)\cdot n^{1+\frac{1}{n}}}{\Gamma\left( 2+n+\frac{1}{n} \right)}} -\frac{n^2}{n+1} \right]},$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot$

$\gamma=-\int_{0}^{\infty}e^{-x}\ln xdx,$

$\gamma=-\int_{0}^{1}\ln\ln \left( \frac{1}{x} \right)dx,$

$\gamma=\int_{0}^{1}\frac{1}{x}\left( 1- e^{-x}-e^{-\frac{1}{x}}\right)dx,$

$\gamma=\int_{0}^{\infty}\frac{1}{x}\left( \frac{1}{1+x}- e^{-x}\right)dx,$

$\gamma=\int_{0}^{\infty}\frac{1}{x}\left( \frac{1}{1+x^2}- e^{-x}\right)dx,$

$\gamma=\int_{0}^{\infty}\frac{1}{x}\left( \frac{1}{1+x}- \cos x\right)dx,$

$\gamma=\int_{0}^{\infty}\frac{1}{x}\left( \frac{1}{1+x^2}- \cos x\right)dx,$

$\gamma=\int_{0}^{\infty}\left( \frac{1}{1-e^{-x}}-\frac{1}{x} \right)e^{-x}dx,$

$\gamma=\int_{0}^{1}\frac{1}{x\ln x}\left( x- \frac{1}{1-\ln x}\right)dx,$

$\gamma=\int_{0}^{\infty}\left[ \cos^2(\arctan x)-\cos x \right]dx,$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot$

$\gamma=\sum_{n=2}^{\infty}{(-1)^n\frac{\zeta(n)}{n}},$

$\gamma=\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^n\frac{\left[ \lg n \right]}{n}},$

$\gamma=\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^n\frac{\ln n}{n\ln2}},$

$\gamma=1-\sum_{n=2}^{\infty}{\frac{\zeta(n)-1}{n}},$

$\gamma=1+\sum_{n=3}^{\infty}{(-1)^n\frac{\ln (n-1)}{n\ln2}},$

$\gamma=1-\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\zeta(2n+1)}{(n+1)(2n+1)}},$

$\gamma=1-\ln\frac{3}{2}-\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\zeta(2n+1)-1}{(2n+1)^{2n}}},$

$\gamma=2-2\ln2-\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\zeta(2n+1)-1}{(n+1)(2n+1)}},$

$\gamma=1+\frac{1}{3}\ln\frac{8}{15}-\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\zeta(2n+1)-1}{2n+1}}\left( \frac{3}{2} \right)^{2n},$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot$

$\gamma=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=2^{n}}^{\infty}{\frac{(-1)^k}{k}},$

$\gamma=\int_{0}^{1}\left( \frac{1}{1+x}\sum_{n=1}^{\infty}{x^{2^n-1}} \right)dx,$

$\gamma=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{x-1}{(1-xy)\ln xy}dxdy,$

$\gamma=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n+1}}{2n(2n)!}}-\int_{1}^{\infty}\frac{\cos x}{x}dx,$

$\gamma=1-\ln2\pi-12\zeta'(-1)+\frac{6\zeta'(2)}{\pi^2},$

$\gamma=1-\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=2^{n-1}}^{2^n-1}{\frac{n}{(2k+1)(2k+2)}},$

$\gamma=r\int_{0}^{\infty}\left( \frac{1}{x(1+x^q)}-\frac{e^{-x^2}}{x} \right)dx,$

$\gamma=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{4+\dfrac{1}{3+\cdot\cdot\cdot}}}}}}}},$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot$

虽然我们得到了

$\gamma$

的很多表达式，然而却没有一个能够帮助我们确定

$\gamma$

是否为无理数，至于是否为超越数那就更不得而知了，所以有人说

$\gamma$

是数学中最大的迷！据说英国著名的数学家 Hardy 曾对外宣称要是谁能证明

$\gamma$

是无理数，他将把他在牛津大学的 Savilian 教授职位让出来给那个人！

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[百家杂谈] 除了 π、e 等这些常数，还有哪些伟大的常数？

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